- Khi triển khai các phép thay đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không được trừ nhị bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân bọn chúng khi chưa chắc chắn rõ vệt của nhị vế . Chỉ được phép nhân nhì vế của bất đẳng thức với cùng 1 biểu thức lúc ta biết rõ dấu của biểu thức kia
- Cho một trong những hữu hạn những số thực thì trong đó lúc nào ta cũng chọn ra được số lớn nhất và số nhỏ dại nhất . đặc thù này được dùng làm sắp lắp thêm tự các ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức
Bạn đang xem: Bất đẳng thức và cực trị
8Download bạn đang xem trăng tròn trang mẫu mã của tư liệu "Chuyên đề Bất đẳng thức, bất phương trình, rất trị đại số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD làm việc trên
Bất đẳng thức , bất phương trình ,cực trị đại số - Bất đẳng thức 1. Kỹ năng và kiến thức cần lưu giữ a) Định nghĩa : mang đến hai số a với b ta tất cả a > b a – b > 0 b) một số bất đẳng thức cơ bạn dạng : 01) những bất đẳng thức về luỹ thừa cùng căn thức : với A là một biểu thức ngẫu nhiên , vết bằng xảy ra khi A = 0 ; ; lốt bằng xẩy ra khi A = 0 Với vết bằng xẩy ra khi tất cả ít nhất một trong hai số bằng không với vết bằng xảy ra khi B = 0 02) những bất đẳng thứcvề quý giá tuyệt đối với A ngẫu nhiên , vệt bằng xảy ra khi A = 0 lốt bằng xẩy ra khi A và cùng dấu dấu bằng xẩy ra khi A cùng B cùng dấu và A> B 03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) : - cho các số ( mức độ vừa phải nhân của n số không âm không to hơn trung bình cộng của bọn chúng ) vết bằng xẩy ra khi - Bất đẳng thức Côsi mang đến hai số hoàn toàn có thể phát biểu dưới các dạng sau : cùng với a và b là các số ko âm cùng với a và b là các số ngẫu nhiên Với a cùng b là các số ngẫu nhiên Dấu bằng xẩy ra khi a = b 04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi – Svac ) : - cho hai bộ các số thực: cùng . Lúc đó : lốt bằng xảy ra khi : - Hoặc với ai , bi khác 0 cùng nếu thì tương ứng cũng bởi 0 - Hoặc bao gồm một bộ trong hai bộ trên có toàn số không - Bất đẳng thức Côsi – Svac mang lại hai cặp số : lốt bằng xảy ra khi ay = bx 05) Bất đẳng thức với x > 0 ; cùng với x b và b > c thì a > c 02 ) đặc điểm liên quan lại đén phép cộng : cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một vài : trường hợp a> b thì a +c > b+ c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : ví như a > b với c > d thì a+c > b +d 03 ) Trừ nhì bất đẳng thức trái chiều : ví như a > b và c b – d 04 ) Các đặc điểm liên quan mang đến phép nhân : - Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một số trong những Nếu a >b với c > 0 thì ac > bc ví như a > b với c b >0 cùng c > d > 0 thì ac > bd nếu a bd Luỹ thừa nhì vế của một bất đẳng thức : với mọi Với mọi với mọi 0 m a > 1 cùng với n > m 2. Một vài điểm cần chú ý : - Khi thực hiện các phép thay đổi trong minh chứng bất đẳng thức , không được trừ hai bất đẳng thức thuộc chiều hoặc nhân bọn chúng khi chưa chắc chắn rõ dấu của nhì vế . Chỉ được phép nhân nhị vế của bất đẳng thức với 1 biểu thức khi ta hiểu ra dấu của biểu thức đó - Cho một số hữu hạn các số thực thì vào đó khi nào ta cũng chọn ra được số lớn nhất và số nhỏ nhất . đặc thù này được dùng làm sắp vật dụng tự những ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức 3. Một số cách thức chứng minh bất đẳng thức:3.1. áp dụng các đặc thù cơ bạn dạng của bất đẳng thức
Ví dụ 1: minh chứng rằng với tất cả số thức x thì :Giải :Ta có : với mọi x do vậy : Đúng với tất cả x vệt bằng xẩy ra khi x = -3 ví dụ 2 : cho a, b cùng a+b 0 . Chứng tỏ rằng Giải :Ta bao gồm : Xét tử của M : bởi a+b 0 đề nghị M= > 0 vì a, b quan trọng đồng thời bởi 0 3.2. Phương pháp phản chứng:Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c nhất trí . Chứng tỏ rằng cả cha số này đều dương Giải- đưa sử có một trong những không dương: a Ê 0Từ abc > 0 ta có: bc 0 ta có: b + c > - a > 0Từ ab +bc+ac >0 ta có: bc + a(b + c) > 0 ị bc > - a (b + c) > 0 (**)Ta có (*) và (**) xích míc nhau ị đpcm.3.3. Phương thức sử dụng những bất đẳng thức cơ bản:Ví dụ 4: chứng minh rằng: cùng với x, y > 0. Ta tất cả : ( 1 + x) (1 + y) (1 + )2 Giải
Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta tất cả : bí quyết 2 : Theo bất đẳng thức Cosi ta có:Dấu bằng xẩy ra khi x = y
Ví dụ 5 : đến và 3a + 4 = 5 . Chứng minh rằng Giải :Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có : 1Dấu bằng xảy ra khi : giải pháp 2 : trường đoản cú 3a +4b = 5 ta gồm a= Vậy Đúng với đa số x lấy ví dụ 6 : chứng minh rằng với đa số góc nhọn x ta tất cả : a ) sin x + cosx b) tgx + cotgx 2 Giải :a) vận dụng bất đẳng thức Cosi mang lại hai số dương ta gồm : sin x + cosx vệt bằng xảy ra khi sinx = cosx tốt x = 450b ) vì tgx , cotgx >0 . Vận dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta tất cả ; tgx + cotgx ( vì tgx . Cotgx = 1 ) dấu bằng xẩy ra khi tgx = cotgx tốt x= 450Ví dụ 7 : cho . Chứng minh rằng : Giải :Ta tất cả : áp dụng bất đẳng thức Cosicho nhị số dương và ta gồm : nhưng mà : Vậy vệt bằng xẩy ra khi a = 4 ví dụ 8 : minh chứng rằng với đa số số thực x , y ta gồm : Giải :Bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương với : Điều này đúng vì và không đồng thời xảy ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0 3.4. Cách thức sử dụng đk có nghiệm của phương trình :Ví dụ9 : minh chứng rằng trường hợp phương trình:2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2Có nghiệm thì 4c2 3(a + b)2 – 8ab
Giải
Ta bao gồm : Để phương trình gồm nghiệm thì : 3.5. Cách thức làm trội:Ví dụ10 : minh chứng với n N* thì:Giải
Ta có: + .4. Các bài tập từ luyện :Bài 1: trong tam giác vuông ABC bao gồm cạnh huyền bằng 1 , nhị cạnh góc vuông là b cùng c. Minh chứng rằng : b3 + c3 b > 0 . Chứng tỏ rằng b ) áp dụng so sánh và hướng dẫn giải :Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có một = b2 + c2 cùng 1> b; 1 > c
Vậy 1= b2 + c2 > b3 + c3Bài 2 : a) Ta gồm : do x2 - x +1 = với mọi x nên ( Đúng )Dấu bằng xẩy ra khi x = b ) Ta tất cả : Đúng bởi vì a +b 0; a+b > 0 nên: (*) ( Bất đẳng thức Cosi mang lại 2 số )Vậy với tất cả a , b > 0 b) Đặt (x-1)2 = t thì t > 0 cùng x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t bởi vì 0 0 vận dụng bất đẳng thức ngơi nghỉ câu (a) cho hai số dương t với 1-t ta được mà lại 4 - x2 p = 0Với x 0 ta có: p. = x = P(x + a)2 px2 + 2 apx + pa2 = x px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0Để phương trình có nghiệm thì: (2ap – 1)2 – 4pa2 0 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p 0 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 0Giải bất phương trình bậc 2 nhận được P1 p. P24. Bài bác tập tự luyện :Bài 1: Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của những biểu thức sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020 c) C = d ) D = 3x2+5y2 với bài xích 2 : Tìm giá bán trị mập nhất của các biểu thức sau: a) M = - x2 + 4x + 7 b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) p = ( x+1 ) (2 - x ) bài xích 3: Tìm giá bán tri lớn nhất và nhỏ dại nhất của biểu thức: p = Giải:Bài 1: a) A= (x-3)2 -8 đề xuất min A = 8 khi x = 3 b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 bắt buộc Min B = 2007 khi x = 3; y =2 c) Điều kiện: x 0 (*). áp dụng bất dẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:Vậy Min
C = 2 khi so sánh với (*) ta được x =-1 c) trường đoản cú Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: Vậy Min
D = 2 khi x= và y = bài bác 2: a) M = 11 - (x - 2)2 phải Max
M = 11 khi x = 2 b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 đề xuất Max
N = 2005 lúc x = 1; y = - c ) p. = ( x+1 ) (2 - x ) ( Bất đẳng thức Cosi ) Vậy Max
P = khi x = bài bác 3: Ta có: p = (* ) Ta thấy p. = 0 lúc x = Với p. 0 thì quý giá của p. Phải thoả mãn mang lại phương trình (*) gồm nghiệm với x Điều này tương đương với: Vậy Max
P = lúc x = Min
P = -khi x = V.3. Bất phương trình 1. Kiến thức cần lưu giữ : - Bất phương trình số 1 : ax +b = 0 () + nếu a > 0 bất phương trình bao gồm nghiệm + giả dụ a thì f(x) và hệ số a cùng dấu , lúc x 0 ; A(x)B(x) b b b , b > c a > c+ + + + 3. Một số hằng bất đẳng thức + ; xẩy ra đẳng thức lúc a = 0.+ . Xẩy ra đẳng thức lúc a = 04. Một số phương thức chứng minh bất đẳng thức4.1. Cần sử dụng định nghĩa
Để chứng tỏ A > B, ta xét hiệu A - B và chứng minh rằng A - B > 04.2. Dùng những phép thay đổi tương đương
Để minh chứng A > B ta biến đổi tương đương trong số ấy bất đẳng thức An > Bn luôn đúng, bởi quá trình thay đổi là tương tự nên ta suy ra A > B là đúng.4.3. Sử dụng bất đẳng thức phụ
Để minh chứng A > B, ta xuất phát từ một hằng bất đẳng thức hoặc một bất đẳng thức dễ dàng (gọi là bđt phụ) và chuyển đổi tương đương suy ra A > B.II- các nhận xét và những bài toán minh hoạ cho việc ứng dụng, khai quật một bất đẳng thức lớp 8Nhận xét :Trong công tác toán T.H.C.S bao gồm một bất đẳng thức không còn xa lạ mà việc ứng dụng của nó trong những lúc giải các bài tập đại số cùng hình học tập rất tất cả hiệu quả. Ta thường hotline đó là “bất đẳng thức kép”. Đó là bất đẳng thức sau :Với đầy đủ a, b ta luôn có : (*)Nhận thấy (*) Cả cha bất đẳng thức bên trên đều tương đương với hằng bất đẳng thức và cho nên vì thế chúng xảy ra đẳng thức khi a = b.ý nghĩa của bất đẳng thức (*) là nêu cần quan hệ thân tổng nhì số cùng với tích nhì số với với tổng những bình phương của nhị số đó.Sau đó là một số lấy một ví dụ minh hoạ việc vận dụngvà khai quật bất đẳng thức (*).Bài toán 1:Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng: ; ; * Giải : vận dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết a + b = 1 ta có: ; .Đẳng thức xẩy ra khi a = b = 1/2.* khai quật bài toán
Nhận xét 1: Nếu tiếp tục áp dụng bđt (1) và tăng số mũ của đổi thay ta chiếm được các hiệu quả như:Tổng quát lác ta có việc sau:Bài toán 1.1: đến a + b = 1 . Minh chứng rằng: bí quyết giải việc 1.1 ta áp dụng phương thức quy hấp thụ toán học và làm tựa như bài toán 1.Nhận xét 2: tiếp tục khái quát bài toán 1.1 khi cầm giả thiết a + b = 1 bởi vì giả thiết a + b = k , làm tựa như như bên trên ta bao gồm Vậy có bài toán 1.2 như sau:Bài toán 1.2: cho a + b = k . Chứng minh: nhấn xét 3: Từ câu hỏi 1.2 nếu như ta gắng giả thiết a + b = k vì b = k - a ta được vấn đề 1.3:Chứng minh : với đa số k .* khai thác sâu bài xích toán
Nhận xét 1: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp 2 lần ta tất cả kết quả:Tổng quát lác ta có câu hỏi sau:Bài toán1.4:Chứng minh : a) b) dìm xét 2: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) tiếp tục nhiều lần với tăng số biến ta có:.Vậy có bài toán 1.5:Chứng minh: Cứ thường xuyên suy luận sâu không chỉ có vậy ta thu được nhiều bài toán bao quát hơn.Bài toán 2: đến a, b, c > 0.Chứng minh rằng: * Giải: áp dụng bất đẳng thức (2) ta có : (vì a, b, c > 0) ( vày (a+b)(b+c)(c+a) > 0 cùng 8abc > 0).Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .* khai quật bài toán
Nhận xét 1: Nếu đến a, b, c > 0 với a + b + c = 1. Khi ấy ta có một - a, 1- b, 1 - c > 0 và có một + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). áp dụng bài toán 2 ta được : Vậy có việc 2.1:Cho a, b, c > 0 cùng a + b + c = 1. Bệnh minh: dìm xét 2: Ta liên tục khai thác sâu hơn bài xích toán bằng phương pháp cho a + b + c = n > 0 . Lúc đó tương tự như bài toán 2.1 ta có câu hỏi 2.2:Cho a, b, c > 0 cùng a + b + c = n > 0. Minh chứng : việc 3:Chứng minh rằng với tất cả a, b, c ta bao gồm : * Giải : vận dụng bất đẳng thức (3) ta bao gồm : đ.p.c.m
Có đẳng thức khi a = b = c.* khai quật bài toán
Nhận xét 1 : Nếu vận dụng bài toán 3 cùng tăng số mũ lên, không thay đổi số biến chuyển ta bao gồm (*) lại áp dụng bài toán 3 lần nữa ta có (**) . Từ bỏ (*) với (**) ta thu được kết quả là . Vậy có việc 3.1:Chứng minh rằng với đa số a, b, c ta tất cả : .Nhận xét 2: ví như tăng số phát triển thành và giữ nguyên số nón của phát triển thành với bí quyết làm như bài toán 3 ta có vấn đề 3.2:Chứng minh rằng: với mọi Bài toán 4 :Chứng minh rằng với đa số a, b, c, d ta gồm :* Giải :áp dụng bất đẳng thức (3) ta bao gồm : đ.p.c.m
Có đẳng thức lúc a = b = c = d* khai quật bài toán
Nhận xét 1: Nếu vắt b = c = d = 1 ta có bđt Vậy có bài toán 4.1:Tìm giá trị nhỏ dại nhất của A = dấn xét 2: Nếu khai thác bài toán 4 theo phía tăng số biến, số nón lên, ta Có vấn đề tổng quát mắng sau:Bài toán 4.2:Chứng minh rằng với tất cả số cùng với ta có:.Bài toán 5 :Cho a + b + c + d = 2 . Chứng minh : * khai thác bài toán
Nhận xét 1: Nếu ráng hằng số 2 ở đưa thiết do số k ta được hiệu quả . Vậy có việc tổng quát hơn hẳn như là sau:Bài toán 5.1:Cho a + b + c + d = k . Chứng minh : nhận xét 2: Ta còn rất có thể tổng quát việc 5.1 ở tại mức độ cao hơn bằng cách tăng số biến chuyển của việc . Khi ấy bài toán 5.1 chỉ với trường hợp riêng của việc sau:Bài toán 5.2:Cho = k . Triệu chứng minh: với Để giải việc này thì cả hai biện pháp làm của câu hỏi 5 sinh hoạt trên đưa vào vận dụng không vừa lòng lý, ta sẽ làm như sau:áp dụng bđt (3) ta có: ; ; ; (vì ) (đ.p.c.m). Từ kia suy ra : với (1.1)Vậy có việc 5.3: hội chứng minh: với .Đặc biệt hoá với n = 5, n = 7, ta được những việc như : minh chứng : . Cụ thể những bđt này ví như sử dụng cách thức dùng quan niệm hoặc biến hóa tương đương thì khôn xiết khó giải quyết và xử lý .* khai thác sâu bài toán
Nếu tiếp tục nâng số mũ lên rất cao hơn theo cách khai thác của vấn đề 1.4 ta thu được tác dụng tổng quát không chỉ có vậy chẳng hạn:Bài toán 5.4:Chứng minh: a) với b) cùng với c) cùng với (1.2)Rõ ràng các bất đẳng thức này còn chặt hơn hết bđt Cô Si và cũng ko cần điều kiện gì của biến.Tiểu kết 1: Trên phía trên ta đã khai thác và cải cách và phát triển từ những bài bác toán đơn giản để thu được những việc mới, những hiệu quả mới bao quát hơn.Bất đẳng thức (1.1) là ngôi trường hợp tổng quát của bất đẳng thức (1) lúc ta khai quật theo phía tăng số thay đổi của bài toán.Bất đẳng thức (1.2) là ngôi trường hợp tổng quát của bất đẳng thức (1) khi ta khai thác theo phía tăng cả số mũ và số biến.Tiểu kết 2:Để khai thác, cách tân và phát triển một việc về bất đẳng thức ta có thể đi theo một vài hướng như sau: Hướng đầu tiên : tổng thể hoá những hằng số gồm trong bài xích toán, lấy một ví dụ như các bài toán 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1Hướng đồ vật hai : không thay đổi số phát triển thành và tăng số mũ của những biến dẫn đến tổng thể hoá số mũ, ví dụ các bài toán 1.1; 1.4Hướng thứ cha : giữ nguyên số mũ với tăng số biến của các biến dẫn đến tổng quát hoá số biến, ví dụ những bài toán 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3Hướng thứ tư : tổng quát hoá bao gồm cả số mũ cùng số biến, lấy một ví dụ như các bài toán 4.2; 5.2; 5.4Hướng trang bị năm : Đổi biến, quan trọng đặc biệt hoá từ việc tổng quát, ví dụ như các bài toán 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trên đây là các ví dụ áp dụng bđt (*) vào việc giải các bài toán đại số và một vài phương phía để khai thác một bài toán. Công dụng thu được sau khi khai thác bđt (1) là bđt : với (1.1) và bđt: với (1.2)Hoàn toàn tựa như như bên trên ( chứng minh bằng quy hấp thụ toán học tập ) ta cũng có kết quả khi khai thác bđt (2) như sau: với (2.1)Từ bđt (1.2) cùng bđt (2.1) ta gồm bđt bao quát của bđt (*) như sau: cùng với (*.1) bởi vậy khi làm xong một bài xích toán mặc dù cho là bài toán dễ , fan làm toán không nên thoả mãn ngay với lời giải của bản thân mình mà nên tiếp tục để ý đến những vấn đề xung quanh bài xích toán, tìm kiếm ra những bài toán mới hay hơn, bao quát hơn, sau đó quan trọng đặc biệt hoá vấn đề tổng quát để có được những bài bác toán khác biệt hơn, thú vị hơn. Điều kia làm cho người học toán ngày dần say mê cỗ môn, mặt khác cũng là biện pháp rèn luyện tứ duy, nghiên cứu để sở hữu kho tàng học thức của nhân loại. MOÄT KYế THUAÄT CHệÙNG MINH BAÁT ẹ
AÚNG THệÙC COÙ ẹ
IEÀU KIEÄN ===========Trong moọt soỏ baứi toaựn Baỏt ủaỳng thửực coự moọt soỏ khaự nhieàu baứi toaựn chửựng minh maứ caực aồn coự ủieàu kieọn raứng buoọc; daùng: “Cho C D. Chửựng minh A B”Coự moọt kyừ thuaọt ủeồ chửựng minh laứ ta ủi tửứ chửựng minh: (A – B) + (D –C) 0; khi ủoự tửỷ ủieàu kieọn C D ta suy ra ủửụùc A BSau ủaõy laứ moọt soỏ vớ duù:Baứi toaựn 1: mang lại a + b 1. Chửựng minh raống: a2 + b2 1/2Giaỷi: Ta coự (a2 + b2 – 1/2) + (1 – a – b) = a2 + b2 – a – b – 50% = (a2 – a + 1/4) + ( b2 – b + 1/4) = (a – 1/2)2 + (b – 1/2)2 0. Maứ a + b 1 suy ra: 1 – a – b 0 => a2 + b2 – 1/2 0 tốt a2 + b2 1/2Baứi toaựn 2: Chửựng minh raống neỏu a + b 2 thỡ a3 + b3 a4 + b4Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 – a3 + b3) + ( 2 – a – b) = a4 – a3 – a + 1 + b4 – b3 – b + 1 = = (a – 1)(a3 – 1) + (b -1)(b3 – 1) = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) 0Maứ a + b 2 => 2 – a – b 0 => a4 + b4 – a3 + b3 0 => a3 + b3 a4 + b4Baứi toaựn 3: đến x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn: x3 + y4 x2 + y3. Chửựng minh raống:x3 + y3 x2 + y2 vaứ x2 + y3 x + y2Giaỷi: a/ Ta coự: (x2 + y2 – x3 – y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = y2 – 2y3 + y4 = y2(y – 1)2 0Maứ x3 + y4 x2 + y3 => x3 + y4 – x2 – y3 0 => x3 + y3 x2 + y2b/ Ta coự: (x + y2 – x2 + y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = x – 2x2 + x3 + y2 – 2y3 + y4 == x(1 – x)2 + y2(y – 1)2 0 (vỡ x > 0)Maứ x3 + y4 x2 + y3=> x3 + y4 – x2 – y3 0 => x2 + y3 x + y2Baứi toaựn 4: Chửựng minh raống neỏu: a + b + c 3 thỡ a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 + c4 – a3 – b3 – c3) + (3 – a – b – c) = = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) + (c – 1)2(c2 + c + 1 0Maứ: a + b + c 3 => 3 – a – b – c 0 => a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3Baứi toaựn 5: đến x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn x3 + y3 = x – y. Chửựng minh raống: x2 + y2 0 ( đổ vỡ x; y > 0)=> x2 + y2
| Hệ thống cảnh báo thành viên Gửi bởi vì Nesbit |
| Đặt tiêu đề cụ nào để bài không biến thành xóa? Gửi vị E. Galois |
| Trình soạn thảo cách làm Toán Gửi vị Nesbit |
Hiển thị:Chủ đề: tất cả
Chủ đề: Mở
Chủ đề: Nóng
Chủ đề: Bình chọn
Chủ đề: Khóa
Chủ đề: Di chuyểnSắp xếp:Bài viết cuối
Người viết cuối
Tên chủ đề
Người viết chủ đề
Chủ đề bắt đầu
Tập tin giữ hộ kèm
Bài trả lời
Lượt xemPhân loại:Z-AA-ZThời gian:Từ: Hôm nay
Xem thêm: Bài Thuốc Hay Từ Cây Trinh Nữ Hoàng Cung Chữa Bệnh Gì ? Trinh Nữ Hoàng Cung
Từ: 5 ngàyTừ: 7 ngày
Từ: 10 ngày
Từ: 15 ngày
Từ: 20 ngày
Từ: 25 ngày
Từ: 30 ngày
Từ: 60 ngày
Từ: 90 ngày
Hiển thị tất cả
Hiển thị: từ lần truy vấn cuối Nhớ
Chú ý$\boxed\textChuyên Đề$ Bất đẳng thức - rất trị  LW9" class="ips User Photo ips User Photo_mini" /> | |
| Chú ýVMF's Marathon Bất Đẳng Thức Olympic Bắt đầu do Plan Bby  | |
| Chú ýKhoảng trời dành riêng cho sự sáng sủa tạo User Photo ips User Photo_mini" /> | |
| Chú ýChuyên đề : Làm mạnh khỏe BĐT Cô Sy  | |
| Chú ýTiếp sức bất đẳng thức Bắt đầu bởi vì hoctrocua   | |
Solved $Min Photo ips User  Minh2k8" class="ips User Photo ips User Photo_mini" /> | |
| Solved tìm kiếm Min của $A=x^4+y^4+2\sqrt\left( 1+x^4 \right)\left( 1+y^4 \right)$Bắt đầu vị Quoc | |
Solved tra cứu Max của $P=\left ( 1-a \right )^3+\left ( 1-b \right )^3+\left ( 1-c \right )^3+\frac14$Bắt đầu do Quoc | |
| 2 số thực x,y, $1\leq y\leq 3$ cùng $2xy+1\geq \frac73y$ .Tìm Min $P=x^2-y^2$Bắt đầu vì chưng Quoc User Photo ips User | |
Một số lưu ý khi: Tìm giá trị bé dại nhất, lớn số 1 của biểu thứcCÙNG CHUYÊN MỤC MỚI
|
